Переливаем, смешиваем

«Незнающие пусть научатся, 

знающие - вспомнят еще раз».  

Античный афоризм.

Задачи на смеси имеют практическую направленность. Человеку часто приходится смешивать различные вещества или разбавлять что-либо водой. В задачах употребляется термин «смесь» независимо от её вида: твёрдая, жидкая, газообразная, сыпучая.

Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике для подготовки к сдаче государственных экзаменов. Однако, именно эти задачи вызывают затруднения у учащихся.

Попробуем в них разобраться. 

Смесь состоит из основного вещества и примеси.

Долей (α) основного вещества (в каждой задаче определяется отдельно) называется отношение массы основного вещества (m) в смеси к общей массе смеси (М). Другими словами имеет место формула: 

Рассмотрим решения нескольких задач.

Задача 1. В колбе было 140 г 10% -го раствора марганцовки. В неё долили 60 г 30% -го раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе.

Условия задач удобно записывать в виде таблицы, что мы и сделаем.

 

Из таблицы находим:

1) 0,1 · 140 + 0,3 · 60 = 32 (г) — масса марганцовки в смеси;

2) 140 + 60 = 200 (г) — масса смеси;

3) α = 32/200 ∙ 100% = 16% — содержание марганцовки в смеси.

Ответ: 16%

Говорят, что лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач одним способом. Поэтому следующую задачу, которая получена из первой задачи небольшим изменением условия, решим разными способами.

Задача 2. Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16%-го раствора марганцовки?

Способ 1. Пусть масса первого раствора — x г. Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение:

0,1x + 0,3(200 – x) = 0,16 ∙ 200,

0,2x = 28,

x = 140.

Следовательно, необходимо взять 140 г 10%-го и 60 г 30%-го растворов.

Ответ: 140 г 10%-го и 60 г 30%-го растворов.

Рассмотрим ещё один способ.

Способ 2. Пусть масса первого раствора — x г, а масса второго раствора — y г. По условию задачи заполним таблицу:

 

Составим и решим систему уравнений:

Ответ: 140 г 10%-го и 60 г 30%-го растворов.

А теперь решим эту задачу старинным способом по правилу «креста».

Способ 3. Составим схему. В левой колонке запишем процентные содержания марганцовки в имеющихся растворах. Посередине — процентное содержание марганцовки в полученной смеси. В правой колонке следует записать разности процентных содержаний имеющихся растворов и полученной смеси (вычитаем из большего числа меньшее и записываем разность на ту диагональ, где находятся, соответственно, уменьшаемое и вычитаемое).

 

Исходя из схемы делаем вывод: в смеси содержится 14 частей 10%-го раствора и 6 частей 30%-го раствора.

Найдём их массы:

200 : (14 + 6) · 14 = 140 (г);

200 : (14 + 6) · 6 = 60 (г).

Ответ: 140 г 10%-го и 60 г 30%-го растворов.

Задача 3. Имеется склянка 20%-го раствора кислоты и склянка 40%-го раствора кислоты.

а) Смешали 200 г раствора кислоты из первой склянки и 300 г из второй. Определите массу кислоты и её долю в полученном растворе.

б) Из первой склянки взяли 300 г раствора кислоты. Сколько граммов раствора кислоты надо долить из второй склянки, чтобы получить 32%-й раствор кислоты?

в) Верно ли, что если из второй склянки берут на 50% больше раствора кислоты, чем из первой, то полученная смесь является 32%-ым раствором кислоты?

Смотреть решение >>>

Задача 4. Было 12 кг пресной воды. В неё добавили несколько килограммов сахара и получили 4%-ый раствор. Сколько килограммов сахара было добавлено?

Смотреть решение >>>

  

Используемая литература: библиотечка "Первое сентября", серия "математика", выпуск 31.