Секреты устного счёта

Счет и вычисления - основа порядка в голове. 

Песталоцци

Как добиться того, чтобы свести к минимуму ошибки, связанные с элементарными вычислениями? Не секрет, что при выполнении самостоятельных и контрольных работ бОльший процент ошибок составляют именно вычислительные ошибки или ошибки, связанные с применением свойств и правил действия с числами. Подтверждением тому явились и диагностические работы, проведённые на прошлой неделе в 9-х и 11-ом классах. Многие ученики ошибались именно там, где приходилось производить действия с числами. Предлагаю вспомнить некоторые правила, которые помогут считать не только правильно, но и быстро. Итак, тренируем устный счёт.

1. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.

Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100 : 2 и т.д.)

            54 · 5 = (54 · 10) : 2=540 : 2 = 270 

          или 54 · 5 = (54 : 2) ·10 = 270.

Чтобы число разделить на 5, 50, 500 и т. д., надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.

10800 : 50 = 10800 : 100 · 2 = 216

2. Умножение и деление на 25, 250, 2500 и т. д. 

Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. можно заменить умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4)

              542·25 = (542·100) : 4 = 13550                         
               (248·25 = 248: 4·100 = 6200)

(если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить его без труда).

            Чтобы выполнить деление числа на 25, 250, 2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4

            31200 : 25 = 31200 : 100·4 = 1248.

3.  Умножение и деление на 125, 1250, 12500 и т. д.

 Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. Только полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8)

                  72·125 = 72·1000 : 8 = 9000

Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8, а потом умножение на 1000,10000 и т. д.

                 48·125 = 48 : 8·1000 = 6000

Чтобы разделить число на 125, 1250 и т.д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8.

7000 : 125 = 7000 : 1000·8 = 56.

4. Умножение и деление на 75, 750 и т. д.

Чтобы число умножить на 75, 750 и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300 : 4)

                  48·75 = 48:4·300 = 3600

Чтобы число разделить на 75, 750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 4

                  7200 : 75 = 7200 : 300·4 = 96.

5. Умножение на 15, 150.

При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения:

                   23·15 = 23·(10 + 5) = 230 + 115 = 345;

если же число четное, то поступаем еще проще — к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:

                   18·15 = (18 + 9)·10 = 27·10 = 270.

При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150 = 15·10: 

24·150 = ((24+12)·10)·10 = (36·10)·10 = 3600.

 Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5:

               24·35 = 24·(30 +5) = 24·30 + 24:2·10 = 720 + 120 = 840.

6. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20.

 К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:

           18·16 = (18+6)·10+8·6 = 240 + 48 = 288. 

 Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 
             23·24 = (23+4)·20+4·6 = 27·20 + 12 = 540 + 12 = 562.

Объяснение:

(10+a)·(10+b) = 100 + 10a + 10b + a·b = 10·(10+a+b) + a·b = 10·((10+a)+b) + a·b .

7. Умножение двузначного числа на 101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

Пример:

57 · 101 = 5757      57 ==> 5757

Объяснение: (10a+b)·101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b

Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п.

8. Умножение числа на 11.

Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму цифр десятков и единиц, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Пример:

34 · 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой;

68 · 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой  и восьмеркой (к шестерке прибавляется перенесенная единица)

Объяснение:

10a+b - произвольное число, где a - число десятков, b - число единиц.

Имеем:

(10a+b)·11 = 10a·11 + b·11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10·(a+b) + b,

где мы имеем a сотен, a+b десятков и b единиц. т.е. результат содержит a·(a+1) сотен, два десятка и пять единиц.

Рассмотрим пример: 43625·11

Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятков, 2+6=8 сотен, 6+3=9 тысяч, 3+4=7 десятков тысяч, 4 сотни тысяч.

Итак, 43625·11=479875.

Когда множимое заключается в пределах 1000 и 10000 (например, 7543), то можно применить следующий способ умножения на 11.Сначала разбить множимое 7543 на грани, по две цифры, затем найти произведение первой грани (75) слева на 11, как указано в умножении двузначного числа на 11. Полученное число (75·11=825) даст сотни произведения, так как умножали сотни множимого. Потом надо умножить на 11 вторую грань (43), получим единицы произведения: 43·11=473. Наконец, полученные произведения сложим: 825 сот. + 473 = 82973. 
Следовательно, 7543·11=82973.

Рассмотрим ещё пример: 8324·11.

83`24; 83 сот. ·11=913 сот.

24·11=264; 913 сот. + 264 = 91564. Следовательно, 8324·11 = 91564.

9. Умножение на 22, 33, …, 99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:

15·33 = 15·3·11 = 45·11=495.

10. Умножение двузначных чисел на 111.

            Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах: 45·111.

 Так как 111=100+10+1, то 45·111=45·(100 + 10 + 1). 
При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45 = 4995. Следовательно, 45·111=4995. 
Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68·11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. 
Следовательно, 68·111 = 7548.

11. Умножение на 37.

При умножении числа на 37, если данное число кратно 3, его делят на 3 и умножают на 111.

               27·37 = (27:3)·111 = 9·111 = 999

Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

              23·37 = (24 - 1)·37 = (24:3)·111 - 37 = 888 - 37 = 851.

12. Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

              37² = 12·100+13² = 1200+169 = 1369
Объяснение: Пусть М - двузначное число, тогда

(М–25)·100 + (50 - M)² = 100M - 2500 + 2500 – 100M + M² = M² .

13. Умножение чисел, близких к 100.

  При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)

         98∙8 = (100-2) ∙ 8 = 100∙8 - 2∙8 = 800 - 16 = 784.

Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999 и т.д.

Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 
          154·9 = 154·10 - 154 = 1540 -154 = 1386.

Но еще проще запомнить правило — "чтобы умножить число на 9 (99, 999 и т.д.) достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (100, 1000 и т.д.) числа, образованного двумя (тремя, четырьмя и т.д.) последними цифрами этого числа)":

154·9 = (154 - 16)·10 + (10 - 4) = 138·10 + 6 = 1380+6 = 1386.

14. Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10.

Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10:

М = 10m + n,  K = 10a + 10 – n. Составим их произведение.

M · K= (10m + n)·(10a + 10 – n) = 100am + 100m – 10mn + 10an + 10n – n2 = m·(a + 1)·100 + n· (10a + 10 – n) – 10mn = (10m)·(10·(a + 1)) + n·(K – 10m).

Рассмотрим несколько примеров:

17 · 23 = 10 · 30 + 7 · 13 = 300 + 91= 391;

33 · 67 = 30 · 70 + 3 · 37 = 2100 + 111 = 2211.

15 . Умножение на число, записанное одними девятками.

          Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.

8 · 9 = 72;

46 · 99 = 4554;

137 · 999 = 136 863;

3562 · 9999 = 35616438.

Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения приведённых примеров: 8 · 9 = 8 · (10 – 1) = 80 – 8 = 72,

 46 · 99 = 46 · (100 – 1) = 4600 – 54 = 4554.

16. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

15·15 = 225 = 10·20 + 25   ( или 1·2 и приписываем справа 25)

35·35 = 30·40 + 25 = 1225  (или 3·4 и приписываем справа 25)

65·65 = 60·70 + 25 = 4225  (или 6·7 и приписываем справа 25)

Желаю удачи в освоении устного счёта!