четверг, 25 декабря 2014 г.

Секреты устного счёта


Счет и вычисления - основа порядка в голове. 
Песталоцци
Как добиться того, чтобы свести к минимуму ошибки, связанные с элементарными вычислениями? Не секрет, что при выполнении самостоятельных и контрольных работ бОльший процент ошибок составляют именно вычислительные ошибки или ошибки, связанные с применением свойств и правил действия с числами. Подтверждением тому явились и диагностические работы, проведённые на прошлой неделе в 9-х и 11-ом классах. Многие ученики ошибались именно там, где приходилось производить действия с числами. Предлагаю вспомнить некоторые правила, которые помогут считать не только правильно, но и быстро. Итак, тренируем устный счёт.


1. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.

Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100 : 2 и т.д.)
            54 · 5 = (54 · 10) : 2=540 : 2 = 270 
          или 54 · 5 = (54 : 2) ·10 = 270.

Чтобы число разделить на 5, 50, 500 и т. д., надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.
10800 : 50 = 10800 : 100 · 2 = 216

2. Умножение и деление на 25, 250, 2500 и т. д. 

Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. можно заменить умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4)
              542·25 = (542·100) : 4 = 13550                         
               (248·25 = 248: 4·100 = 6200)
(если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить его без труда).
            Чтобы выполнить деление числа на 25, 250, 2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4
            31200 : 25 = 31200 : 100·4 = 1248.

3.  Умножение и деление на 125, 1250, 12500 и т. д.

 Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. Только полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8)
                  72·125 = 72·1000 : 8 = 9000
Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8, а потом умножение на 1000,10000 и т. д.
                 48·125 = 48 : 8·1000 = 6000
Чтобы разделить число на 125, 1250 и т.д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8.
7000 : 125 = 7000 : 1000·8 = 56.

4. Умножение и деление на 75, 750 и т. д.

Чтобы число умножить на 75, 750 и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300 : 4)
                  48·75 = 48:4·300 = 3600
Чтобы число разделить на 75, 750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 4
                  7200 : 75 = 7200 : 300·4 = 96.

5. Умножение на 15, 150.

При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения:
                   23·15 = 23·(10 + 5) = 230 + 115 = 345;
если же число четное, то поступаем еще проще — к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:
                   18·15 = (18 + 9)·10 = 27·10 = 270.
При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150 = 15·10: 
24·150 = ((24+12)·10)·10 = (36·10)·10 = 3600.
 Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5:
               24·35 = 24·(30 +5) = 24·30 + 24:2·10 = 720 + 120 = 840.

6. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20.

 К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:
           18·16 = (18+6)·10+8·6 = 240 + 48 = 288. 

 Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 
             23·24 = (23+4)·20+4·6 = 27·20 + 12 = 540 + 12 = 562.
Объяснение:
(10+a)·(10+b) = 100 + 10a + 10b + a·b = 10·(10+a+b) + a·b = 10·((10+a)+b) + a·b .

7. Умножение двузначного числа на 101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.
Пример:
57 · 101 = 5757      57 ==> 5757
Объяснение: (10a+b)·101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п.

8. Умножение числа на 11.

Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму цифр десятков и единиц, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
Пример:
34 · 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой;
68 · 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой  и восьмеркой (к шестерке прибавляется перенесенная единица)
Объяснение:
10a+b - произвольное число, где a - число десятков, b - число единиц.
Имеем:
(10a+b)·11 = 10a·11 + b·11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10·(a+b) + b,
где мы имеем a сотен, a+b десятков и b единиц. т.е. результат содержит a·(a+1) сотен, два десятка и пять единиц.
Рассмотрим пример: 43625·11
Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятков, 2+6=8 сотен, 6+3=9 тысяч, 3+4=7 десятков тысяч, 4 сотни тысяч.
Итак, 43625·11=479875.
Когда множимое заключается в пределах 1000 и 10000 (например, 7543), то можно применить следующий способ умножения на 11.Сначала разбить множимое 7543 на грани, по две цифры, затем найти произведение первой грани (75) слева на 11, как указано в умножении двузначного числа на 11. Полученное число (75·11=825) даст сотни произведения, так как умножали сотни множимого. Потом надо умножить на 11 вторую грань (43), получим единицы произведения: 43·11=473. Наконец, полученные произведения сложим: 825 сот. + 473 = 82973. 
Следовательно, 7543·11=82973.
Рассмотрим ещё пример: 8324·11.
83`24; 83 сот. ·11=913 сот.
24·11=264; 913 сот. + 264 = 91564. Следовательно, 8324·11 = 91564.

9. Умножение на 22, 33, …, 99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:
15·33 = 15·3·11 = 45·11=495.

10. Умножение двузначных чисел на 111.

            Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах: 45·111.
 Так как 111=100+10+1, то 45·111=45·(100 + 10 + 1). 
При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45 = 4995. Следовательно, 45·111=4995. 
Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68·11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. 
Следовательно, 68·111 = 7548.

11. Умножение на 37.

При умножении числа на 37, если данное число кратно 3, его делят на 3 и умножают на 111.
               27·37 = (27:3)·111 = 9·111 = 999
Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.
              23·37 = (24 - 1)·37 = (24:3)·111 - 37 = 888 - 37 = 851.

12. Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.
Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.
Рассмотрим пример:
              37² = 12·100+13² = 1200+169 = 1369
Объяснение: Пусть М - двузначное число, тогда
(М–25)·100 + (50 - M)² = 100M - 2500 + 2500 – 100M + M² = M² .

13. Умножение чисел, близких к 100.

  При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)
         98∙8 = (100-2) ∙ 8 = 100∙8 - 2∙8 = 800 - 16 = 784.
Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999 и т.д.
Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 
          154·9 = 154·10 - 154 = 1540 -154 = 1386.
Но еще проще запомнить правило — "чтобы умножить число на 9 (99, 999 и т.д.) достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (100, 1000 и т.д.) числа, образованного двумя (тремя, четырьмя и т.д.) последними цифрами этого числа)":
154·9 = (154 - 16)·10 + (10 - 4) = 138·10 + 6 = 1380+6 = 1386.

14. Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10.

Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10:
М = 10m + n,  K = 10a + 10 – n. Составим их произведение.
M · K= (10m + n)·(10a + 10 – n) = 100am + 100m – 10mn + 10an + 10n – n2 = m·(a + 1)·100 + n· (10a + 10 – n) – 10mn = (10m)·(10·(a + 1)) + n·(K – 10m).
Рассмотрим несколько примеров:
17 · 23 = 10 · 30 + 7 · 13 = 300 + 91= 391;
33 · 67 = 30 · 70 + 3 · 37 = 2100 + 111 = 2211.

15 . Умножение на число, записанное одними девятками.

          Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.
8 · 9 = 72;
46 · 99 = 4554;
137 · 999 = 136 863;
3562 · 9999 = 35616438.
Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения приведённых примеров: 8 · 9 = 8 · (10 – 1) = 80 – 8 = 72,
 46 · 99 = 46 · (100 – 1) = 4600 – 54 = 4554.

16. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.
15·15 = 225 = 10·20 + 25   ( или 1·2 и приписываем справа 25)
35·35 = 30·40 + 25 = 1225  (или 3·4 и приписываем справа 25)
65·65 = 60·70 + 25 = 4225  (или 6·7 и приписываем справа 25)

Желаю удачи в освоении устного счёта!

4 комментария:

  1. Здравствуйте, Людмила Геннадиевна!
    Понимаю, что сейчас, когда есть калькуляторы, может и не пригодится такой устный счёт, но лично для себя взяла пост на заметку - буду учиться, постараюсь запомнить правила!
    Математика такая интересная!!! Спасибо за пост!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Добрый вечер, Лилия Павловна. Именно сейчас, когда есть калькуляторы, хочется показать ребятам возможности устного счёта. Умея быстро считать, человек перестанет быть рабом обстоятельств. Не оказалось под рукой калькулятора или его просто нельзя использовать, как, например, на ГИА и что же? Пример не будет решён?
      Многие правила, о которых написала, сама помню со школьной скамьи.

      Удалить
  2. Здравствуйте, Людмила Геннадиевна! Мне очень понравились способы устного счета! Действительно, часто во время контрольных делаются досадные ошибки (описки) и не потому, что не знаешь, в просто из-за невнимательности.
    Взял себе на заметку эту статью. Спасибо большое!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Здравствуй, Иван. Рада, что тебя заинтересовал устный счёт. Но навык устного счёта имеет, по-крайней мере, три составляющие. Несомненно, это способности. Некоторым даже таблица умножения не поддаётся. Второе - это алгоритмы, то есть правила, которые я привела выше. И третье - это тренировка. Чем больше считаешь и используешь правила счёта, тем лучше. Тренировка важна в любом деле, в том числе и в математике. Так что дерзай, Ваня!

      Удалить

Вы хотите оставить свой комментарий, но не знаете как?
1. Напишите то, что Вы хотите в поле "Добавить комментарий".
2. В раскрывающемся списке "Подпись комментария" выберите ИМЯ/URL, укажите своё имя, а графу URL можете оставить незаполненной.
3. Если у Вас есть аккаунт Google, выберите соответствующий пункт.
4. У Вас есть также возможность отправить комментарий анонимно.
Пишите. Любой Ваш отзыв важен для меня!

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Возраст блога

Линейки для форума и блога lines.net.ua