воскресенье, 17 мая 2015 г.

Банковская задача в новой версии ЕГЭ-2015 по математике

Приближается пора сдачи экзаменов. В помощь ученикам 11 класса хочу предложить примеры решения так называемых банковских задач. С 2015 года в профильный уровень ЕГЭ по математике включено задание №19, которое и является таковой.
Знание методики решения таких задач пригодится как при написании ЕГЭ по математике, так и в повседневной жизни (расчёт процентов по кредиту).
Итак, рассмотрим 4 типа таких задач.
Предлагаемые способы решения не являются единственными.
Задача №1. Нахождение количества лет выплаты кредита.
Андрей хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка- 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Андрей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Решение.
1) в конце первого года долг составит:
1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб.)
2) в конце второго года долг составит:
1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб.)
3) в конце третьего года долг составит:
1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб.)
4) в конце четвертого года долг составит:
838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб.)
5) в конце пятого года долг составит:
571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб.)
6) в конце шестого года долг составит:
278900 ∙ 1,1 =306878 (руб.)
Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет.
Ответ: 6 лет

В условии следующей задачи вам встретится слово транш, которое используется в финансовом мире. Это слово заимствовано во французском языке в конце XX века и имеет несколько значений. В самом общем смысле транш означает часть денежного потока. В задаче – это часть денежной суммы при погашении кредита.

Задача №2. Вычисление процентной ставки по кредиту.
31 декабря 2014 года Иван взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Иван переводит в банк очередной транш. Иван выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Ивану?
Решение. 
Пусть p - процентная ставка по кредиту.
1) в конце первого года долг составит:
1000000 ∙ (1 + 0,01∙ p) – 660000 = 340000 + 10000∙p
2)  в конце второго года долг составит:
(340000 + 10000∙p) ∙ (1 + 0,01∙p) – 484000.
По условию задачи кредит будет погашен за два года. 
Составляем уравнение: 
(340000 + 10000∙p) ∙ (1 + 0,01∙p) – 484000 = 0;
После соответствующих преобразований, получаем квадратное уравнение:
p2 + 134∙p – 1440 = 0
Данное уравнение имеет два корня: p1 = - 144, p2 = 10.
Согласно условию задачи получаем, что p = 10.
Ответ: 10%

Задача №3 Нахождение суммы кредита.
31 декабря 2014 года Александр взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Александр переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Александр в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?
Решение. 
Пусть S – сумма кредита. Тогда,
1) в конце первого года долг составит: (1,1S – 2928200) рублей
2) в конце второго года долг (в рублях) составит:
(1,1S – 2928200) ∙1,1 – 2928200 = 1,21S – 3221020 – 2928200 = 1,21S – 6149220
3) в конце третьего года долг (в рублях) составит:
(1,21S – 6149220) ∙1,1 – 2928200 = 1,331S – 6764142 – 2928200 = 1,331S – 9692342
4)  в конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей:
(1,331S – 9692342) ∙1,1 = 2928200;
1,4641S – 10661576 = 2928200;
1,4641S = 13589776;
S = 9281999,8
Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.
 Ответ: 9282000 руб.

Задача №4. Нахождение ежегодного транша.
31 декабря 2014 года Пётр взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Пётр переводит в банк некоторую сумму. Какой должна быть эта сумма, чтобы Пётр выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Решение.
Пусть сумма транша составляет Х рублей. Тогда,
1) в конце первого года долг составит: 
8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х
2) в конце второго года долг составит:
(9802860 - Х) ∙1,14 – Х = 11175260 – 2,14∙Х
3) в конце третьего года долг (в рублях) составит:
(11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х = 12739796 – 3,4396∙Х
Составим уравнение:
12739796 – 3,4396∙Х= 0
Х = 3703860 (руб.)
Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.

Решайте задачи, решайте как можно больше задач, и удача на экзамене не покинет вас.

4 комментария:

  1. Людмила Геннадиевна, замечательная подборка. У меня сейчас нет 11 класса, а вы правильно заметили, что задач надо решать как можно больше. Вот и восполнила пробел в вашем блоге.

    P.S. в задаче №3, в пункте 1 решения небольшая описка, вместо S стоит x, хотя не думаю, что вдумчивого читателя это смутит.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Здравствуйте, Галина Станиславовна. Всё же решила исправить свою описку. Спасибо за замечание.

      Удалить
  2. Здравствуйте, Людмила Геннадьевна! Очень хороший у Вас блог! Посмотрите, пожалуйста, мои:

    Приглашение в мир математики - блог о математических олимпиадах, занимательной математике и темах, изучаемых в школе на уроках
    Десять букв - короткие заметки о математических интересностях

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Здравствуйте, Алексей. Спасибо за Ваше внимание к моему блогу.
      В свою очередь, прошла по ссылкам и надолго застряла. Нашла у Вас много интересного. С Вашего разрешения, воспользуюсь некоторым материалом, указав, естественно, Ваше авторство.

      Удалить

Вы хотите оставить свой комментарий, но не знаете как?
1. Напишите то, что Вы хотите в поле "Добавить комментарий".
2. В раскрывающемся списке "Подпись комментария" выберите ИМЯ/URL, укажите своё имя, а графу URL можете оставить незаполненной.
3. Если у Вас есть аккаунт Google, выберите соответствующий пункт.
4. У Вас есть также возможность отправить комментарий анонимно.
Пишите. Любой Ваш отзыв важен для меня!

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Возраст блога

Линейки для форума и блога lines.net.ua