Банковская задача в новой версии ЕГЭ-2015 по математике

Приближается пора сдачи экзаменов. В помощь ученикам 11 класса хочу предложить примеры решения так называемых банковских задач. С 2015 года в профильный уровень ЕГЭ по математике включено задание №19, которое и является таковой.

Знание методики решения таких задач пригодится как при написании ЕГЭ по математике, так и в повседневной жизни (расчёт процентов по кредиту).

Итак, рассмотрим 4 типа таких задач.
Предлагаемые способы решения не являются единственными.

Задача №1. Нахождение количества лет выплаты кредита.

Андрей хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка- 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Андрей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение.

1) в конце первого года долг составит:

1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб.)

2) в конце второго года долг составит:

1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб.)

3) в конце третьего года долг составит:

1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб.)

4) в конце четвертого года долг составит:

838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб.)

5) в конце пятого года долг составит:

571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб.)

6) в конце шестого года долг составит:

278900 ∙ 1,1 =306878 (руб.)

Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет.

Ответ: 6 лет

В условии следующей задачи вам встретится слово транш, которое используется в финансовом мире. Это слово заимствовано во французском языке в конце XX века и имеет несколько значений. В самом общем смысле транш означает часть денежного потока. В задаче – это часть денежной суммы при погашении кредита.

Задача №2. Вычисление процентной ставки по кредиту.

31 декабря 2014 года Иван взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Иван переводит в банк очередной транш. Иван выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Иван перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Ивану?

Решение. 

Пусть p - процентная ставка по кредиту.

1) в конце первого года долг составит:

1000000 ∙ (1 + 0,01∙ p) – 660000 = 340000 + 10000∙p

2)  в конце второго года долг составит:

(340000 + 10000∙p) ∙ (1 + 0,01∙p) – 484000.

По условию задачи кредит будет погашен за два года. 

Составляем уравнение: 

(340000 + 10000∙p) ∙ (1 + 0,01∙p) – 484000 = 0;

После соответствующих преобразований, получаем квадратное уравнение:

p² + 134∙p – 1440 = 0

Данное уравнение имеет два корня: p₁ = - 144, p₂ = 10.

Согласно условию задачи получаем, что p = 10.

Ответ: 10%

Задача №3 Нахождение суммы кредита.

31 декабря 2014 года Александр взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Александр переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Александр в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение. 

Пусть S – сумма кредита. Тогда,

1) в конце первого года долг составит: (1,1S – 2928200) рублей

2) в конце второго года долг (в рублях) составит:

(1,1S – 2928200) ∙1,1 – 2928200 = 1,21S – 3221020 – 2928200 = 1,21S – 6149220

3) в конце третьего года долг (в рублях) составит:

(1,21S – 6149220) ∙1,1 – 2928200 = 1,331S – 6764142 – 2928200 = 1,331S – 9692342

4)  в конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей:

(1,331S – 9692342) ∙1,1 = 2928200;

1,4641S – 10661576 = 2928200;

1,4641S = 13589776;

S = 9281999,8

Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.

 Ответ: 9282000 руб.

Задача №4. Нахождение ежегодного транша.

31 декабря 2014 года Пётр взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Пётр переводит в банк некоторую сумму. Какой должна быть эта сумма, чтобы Пётр выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.

Пусть сумма транша составляет Х рублей. Тогда,

1) в конце первого года долг составит: 

8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х

2) в конце второго года долг составит:

(9802860 - Х) ∙1,14 – Х = 11175260 – 2,14∙Х

3) в конце третьего года долг (в рублях) составит:

(11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х = 12739796 – 3,4396∙Х

Составим уравнение:

12739796 – 3,4396∙Х= 0

Х = 3703860 (руб.)

Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.

Решайте задачи, решайте как можно больше задач, и удача на экзамене не покинет вас.