Решение треугольников

В помощь девятиклассникам.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

При решении треугольников используют теоремы синусов и косинусов, причем при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. 

Например, зная три стороны треугольника, для вычисления первого угла применяем теорему косинусов, а для вычисления второго угла можно использовать как ту, так и другую теоремы. Но поскольку синус угла равен синусу смежного с ним угла, то нахождение синуса угла еще не позволяет определить сам угол – он может быть острым или тупым. Если же вычислить косинус угла, то по его знаку и величине угол определяется однозначно. Надо помнить, что отрицательному значению косинуса соответствует тупой угол, а положительному значению - острый.

Рассмотрим три типа задач на решение треугольника. При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с; ВС = а; СА = b. Для каждой задачи привожу таблицу-памятку с формулами.

Тип 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. По теореме косинусов находим величину третьей стороны. Далее, также по теореме косинусов, находим сначала косинус, а затем и величину одного из углов. Наконец, используя теорему о сумме углов треугольника, находим оставшийся угол.

Тип 2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Находим величину третьего угла по теореме о сумме углов треугольника. Далее, по теореме синусов находим величины двух других сторон треугольника.

Тип 3. Решение треугольника по трем сторонам. Используя теорему косинусов, находим последовательно величины двух любых углов треугольника. Третий угол находим, используя теорему о сумме углов треугольника.