Задание 18. Ищем тангенс угла на квадратной решётке.

Задание 18 в ОГЭ - это задачи на квадратной решётке, которые, в свою очередь, объединяют в себе очень много геометрического материала. Здесь и нахождение длин отрезков (медиан, биссектрис, средних линий, радиусов, расстояний до прямой), и вычисление площадей, и нахождение тригонометрических функций углов.

Рассмотрим задачи последнего типа. Стороны квадратных клеток равны 1
.

Задача 1. Найдите тангенс угла АОВ. 

Эта задача легко решится, если увидеть прямоугольный треугольник и вспомнить, что тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Опустим из точки В перпендикуляр ВН на сторону ОА.  

Из рисунка видно, что катет ВН = 4, а катет ОН = 5. Значит, 

Ответ: 0,8.

Теперь решим задачу посложней. 

Задача 2. Найдите тангенс угла АОВ.

Казалось бы, условие тоже, но посмотрите на расположение угла. Можно ли здесь увидеть прямоугольный треугольник? Можно и нужно.

Что мы знаем? Из любой точки к прямой можно провести перпендикуляр, и притом только один. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от точки до прямой. 

Вполне достаточно.

Из точки В к прямой ОА можно провести отрезки (важно: проводить надо в узлы клеток).

Однако, только один из отрезков перпендикулярен прямой ОА. На рисунке он красного цвета. Уберём с чертежа ненужные элементы.

Перед нами треугольник ОВН. Но, чтобы не было никаких сомнений, проверим, будет ли он прямоугольным. Найдём каждую из сторон треугольника, используя теорему Пифагора.

Для этого достроим наш чертёж.

Используя рисунок, получим

По теореме, обратной теореме Пифагора, если для треугольника выполняется равенство  a² + b² = c², то треугольник прямоугольный.

В нашем случае,

Теперь ответим на вопрос задачи (не забыли ещё?).

Ответ: 1,5.

Эти две задачи показывают, что одинаковые условия не гарантируют ещё, что решения также будут один в один. В каждом случае нужно "нащупать" свой путь. Наверное, это самое трудное в этих задачах. 

Решите самостоятельно.

1. На квадратной сетке изображён угол  . Найдите  .

2. Найдите тангенс угла . Размер клетки 1 × 1.

Задачи взяты с сайта Решу ОГЭ

Желаю вам успешной и плодотворной работы по подготовке к экзамену!