Общие методы решения текстовых задач

При решении текстовых задач чаще всего мы составляем уравнение или систему уравнения, либо неравенство или систему неравенств.

Какие этапы мы проходим при решении задачи?

1. Выбор неизвестного или неизвестных.  
2. Перевод условия задачи на математический язык, то есть составление уравнений, неравенств, ограничений.    
3. Решение уравнений, либо неравенств или их систем.
4. Проверка на выполнение условий задачи (об этом не забываем).

При выборе неизвестного ориентиром служит вопрос задачи. Чаще всего за неизвестное принимаем искомую величину, хотя это не обязательно. Важно, чтобы после выбора неизвестного, все остальные величины выражались через него удобным образом.

После выбора неизвестных, в процессе перевода условия задачи в уравнения (неравенства), надо следить за тем, чтобы все данные задачи были использованы. Составление уравнений рекомендую завершать проверкой размерности всех входящих в него членов.

В дальнейшем, при решении уравнений (неравенств) необходимо лишь следить, чтобы полученные результаты не противоречили физическому смыслу задачи.

Для примера рассмотрим несколько задач с разным содержанием, но для решения которых составляется одинаковое уравнение. И отступим от традиционного оформления задачи, которое, как вы знаете, начинается со слов «Пусть x…», а составим по условию таблицу.

Задача 1. У Нади было несколько пятирублёвых и двухрублёвых монет на общую сумму 27 рублей. Сколько монет по 5 рублей у Нади, если двухрублёвых монет было на 3 штуки больше?

Решение: 

Составим и заполним таблицу, соответствующую условию задачи:

	Номинал	Количество	Стоимость
I	2 руб.	х + 3 шт.	2(х + 3) руб.
II	5 руб.	х шт.	5х руб.

 Составим уравнение:   5х + 2(х + 3) = 27;  7х + 6 = 27; 7х = 21; х = 3.                               

Ответ: 3 монеты.

 Задача 2. Первый турист вышел из из пункта А в пункт В со средней скоростью 2 км/ч, а второй турист вышел из пункта В в пункт А со средней скоростью 5 км/ч на 3 часа позже первого. Через некоторое время туристы встретились. Сколько часов шёл второй турист до встречи, если расстояние между пунктами 27 км?

Решение: 

Составим и заполним таблицу, соответствующую условию задачи:

	Скорость	Время	Расстояние
I	2 км/ч	х + 3 ч.	2(х + 3) км
II	5 км/ч	х ч.	5х км

 Составим уравнение:   5х + 2(х + 3) = 27;  7х + 6 = 27; 7х = 21; х = 3.                               

Ответ: 3 часа.

Задача 3.  Мастер потратил на 3 часа меньше времени, чем ученик на изготовление деталей. Вместе они изготовили 27 деталей, причём производительность мастера - 5 деталей в час, а ученика 2 детали в час. Сколько времени работал мастер?

Решение: 

Составим и заполним таблицу, соответствующую условию задачи:

	Производительность	Время	Работа
I ученик	2 дет./ч	х + 3 ч.	2(х + 3) дет.
II мастер	5 дет./ч	х ч.	5х дет.

 Составим уравнение:   5х + 2(х + 3) = 27;  7х + 6 = 27; 7х = 21; х = 3.                               

Ответ: 3 часа.

Задача 4. На турбазу приехали 27 человек. Для размещения им предоставили домики и палатки. В домиках может проживать по 5 человек, а в палатках по 2 человека. Сколько домиков предоставили туристам, если палаток было на 3 больше, чем домиков?

Решение: 

Составим и заполним таблицу, соответствующую условию задачи:

	Вместительность	Количество	Всего
I палатки	2 человека	х + 3 палатки	2(х + 3) человек
II домики	5 человек	х домиков.	5х человек

 Составим уравнение:   5х + 2(х + 3) = 27;  7х + 6 = 27; 7х = 21; х = 3.                               

Ответ: 3 домика.

Как видим, разные по содержанию задачи можно решать с помощью одной и той же модели решения.